Question

（2011貴州六盤水，25，16分）如圖10所示，Rt△ABC是一張放在平面直角坐標系中的紙片，點C與原點O重合，點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上，已知OA=3，OB＝4。將紙片的直角部分翻折，使點C落在AB邊上，記為D點，AE為折痕，E在y軸上。
（1）在圖10所示的直角坐標系中，求E點的坐標及AE的長。
（2）線段AD上有一動點P（不與A、D重合）自A點沿AD方向以每秒1個單位長度向D點作勻速運動，設運動時間為t秒（0<t<3），過P點作PM∥DE交AE于M點，過點M作MN∥AD交DE于N點，求四邊形PMND的面積S與時間t之間的函數關系式，當t取何值時，S有最大值？最大值是多少？
（3）當t（0<t<3）為何值時，A、D、M三點構成等腰三角形？并求出點M的坐標。

Answer 1

解（1）
據題意，△AOE≌△ADE
∴OE＝DE，∠ADE＝∠AOE＝90⁰，AD＝AO＝3
在Rt△AOB中，

設DE＝OE＝x
在Rt△BED中
BD²＋DE²＝BE²
即2²＋x²＝（4－x）²
解得
∴E（0，）
在Rt△AOE中

（2）∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE＝90⁰
∴四邊形PMND是矩形
∵AP＝t×1＝t
∴PD＝3－t
∵△AMP∽△AED
∴
∴PM＝
∴
∴或
當時

（3）△ADM為等腰三角形有以下二種情況
①當MD＝MA時，點P是AD中點

∴
∴（秒）
∴當時，A、D、M三點構成等腰三角形
過點M作MF⊥OA于F
∵△APM≌△AFM
∴AF＝AP＝，MF＝MP＝
∴OF＝OA－AF＝3－
∴M（，）
②當AD＝AM＝3時

△AMP∽△AED
∴
∴
∴
∴（秒）
∴當秒時，A、D、M三點構成等腰三角形
過點M作MF⊥OA于F
∵△AMF≌△AMP
∴AF＝AP＝，FM＝PM＝
∴OF＝OA－AF＝3－
∴M（，）

略