Question

已知直線y=-

1

2

x與拋物線y=-

1

4

x2+6交于A、B兩點，取與線段AB等長的一根橡皮筋，端點分別固定在A、B兩處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動，動點P將與A、B構成無數個三角形，這些三角形中存在一個面積最大的三角形，最大面積為（　　）

A．12 6

B． 125 2

C． 125 4

D． 23 4

Answer 1

由題意，得

y=- 1 2 x y=- 1 4 x2+6

解得：

x1=6 y1=-3

，

x2=-4 y2=2

，
∴A（6，-3），B（-4，2）．
過點A作AM∥x軸，交拋物線于點M，作BC⊥AM于C交x軸于點E，作PD⊥AM點D，交x軸于點F．
∴C（-4，-3），
∴BC=5，AC=10，
∴S_△ABC=25，
設P（a，-

1

4

a²+6），
∴PD=-

1

4

a²+9，AD=6-a，
∴S_△PDA=

(6-a)(- 1 4 a2+9)

2

，
S_{四邊形BCDP=}

(4+a)(- 1 4 a2+9+5)

2

∴S_△ABP=

(4+a)(- 1 4 a2+9+5)

2

+

(6-a)(- 1 4 a2+9)

2

-25
=-

5

4

a2+

5

2

a+30
=-

5

4

(a-1)2+

125

4

，
∴當a=1時，S_△ABP的最大值為

125

4

，故C答案正確．
故選C．