Question

如圖，已知，A、B、C為圓上的三點，∠ACB=90°，BD與AC的延長線交于點D，AB=10，BC=6，∠D=∠ABC．
（1）求AC的長；
（2）求證：BD是圓的切線；
（3）求CD的長．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，利用勾股定理求解即可；
（2）因為∠D+DBC=180°-∠BCD=90°，又∠D=∠ABC，所以在△ABD中，∠ABD為90°，所以BD是圓點的切線；
（3）先求出△ADB和△ABC相似，再根據相似三角形對應邊成比例列出比例式，代入數據求出AD的長度，CD=AD-AC．

解答：（1）解：∵∠ACB=90°，
∴△ABC為直角三角形，
由勾股定理，
得AB²=AC²+BC²，
∴AC=

AB2-BC2

=8；

（2）證明：由∠ACB=90°，可得AB是圓的直徑，
∵∠BCD=∠ACB=90°，
∴∠D+∠DBC=90°，
又∵∠D=∠ABC，
∴∠ABC+∠DBC=90°，
即∠ABD=90°，
∴BD是圓的切線（過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線）；

（3）∵∠D=∠ABC，∠A為公共角，
∴△ADB∽△ABC，
∴

AD

AB

=

AB

AC

，
∴AD=

AB2

AC

=

102

8

=12.5，
CD=AD-AC=12.5-8=4.5．

點評：本題是綜合題，主要利用勾股定理，圓的切線的定義，相似三角形的判定和相似三角形的性質，熟練掌握各定理和性質并靈活運用是解題的關鍵．