Question

如圖，直線y=

3

5

x-4分別交x、y軸于A、B兩點，O為坐標原點．
（1）求B點的坐標；
（2）若D是OA中點，過A的直線l（3）把△AOB分成面積相等的兩部分，并交y軸于點C．
①求過A、C、D三點的拋物線的函數解析式；
②把①中的拋物線向上平移，設平移后的拋物線與x軸的兩個交點分別為M、N，試問過M、N、B三點的圓的面積是否存在最小值？若存在，求出圓的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線y=

3

5

x-4分別交y軸于B點，令x=0，即可求得B點的坐標；
（2）①由D是OA中點，過A的直線l（3）把△AOB分成面積相等的兩部分，并交y軸于點C，即可求得點A，C，D的坐標，然后設過A、C、D三點的拋物線的函數解析式為：y=ax²+bx+c，利用待定系數法即可求得此二次函數的解析式；
②由拋物線的解析式可化為y=-

9

100

（x-5）²+

1

4

，其對稱軸是x=5．由于過M、N的圓的圓心必在對稱軸上，要使圓的面積最小，則圓的半徑要最小，即點B到圓心的距離要最短，過B作BE垂直拋物線的對稱軸，垂足為E，則符合條件的圓是以E為圓心，EB長為半徑的圓，求得圓的面積．

解答：解：（1）∵當x=0時，y=-4，
∴B點的坐標為（0，-4）；

（2）①∵過A的直線l（3）把△AOB分成面積相等的兩部分，
∴C（0，-2），
又∵A（

20

3

，0），D是OA中點，
∴D（

10

3

，0），
設過A、C、D三點的拋物線的函數解析式為：y=ax²+bx+c，
∴

400 9 a+ 20 3 b+c=0 100 9 a+ 10 3 b+c=0 c=-2

，
解得：

a=- 9 100 b= 9 10 c=-2

，
∴過A、C、D三點的拋物線的函數解析式為y=-

9

100

x²+

9

10

x-2；
②存在．
理由如下：拋物線的解析式可化為y=-

9

100

（x-5）²+

1

4

，其對稱軸是x=5．
由于過M、N的圓的圓心必在對稱軸上，要使圓的面積最小，則圓的半徑要最小，
即點B到圓心的距離要最短，過B作BE垂直拋物線的對稱軸，垂足為E，
則符合條件的圓是以E為圓心，EB長為半徑的圓，
其面積為25π．

點評：此題考查了函數與點的關系，待定系數法求二次函數的解析式，以及圓的面積的最小問題．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．