Question

2011年在國家央行加息的壓力下，某公司決定研制一種新型節能產品并加以銷售，現準備在一線城市和二線城市兩個不同地方按不同銷售方案進行銷售，以便開拓市場．
若只在一線城市銷售，銷售價格y（元/件）與月銷量x（件）的函數關系式為y=-

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100

x+150，成本為20元/件，無論銷售多少，每月還需支出廣告費62500元，設月利潤為 W_一線（元）（利潤=銷售額-成本-廣告費）．
若只在二線城市銷售，銷售價格為150元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件（a為常數，10≤a≤40），當月銷量為x（件）時，每月還需繳納

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100

x² 元的附加費，設月利潤為 W_二線（元）（利潤=銷售額-成本-附加費）．
（1）當x=1000時，y=

 

元/件，w_一線；=

 

元；
（2）分別求出 W_一線，W_二線與x間的函數關系式（不必寫x的取值范圍）；
（3）當x為何值時，在一線城市銷售的月利潤最大？若在二線城市銷售月利潤的最大值與在一線城市銷售月利潤的最大值相同，求a的值；
（4）如果某月要將5000件產品全部銷售完，請你通過分析幫公司決策，選擇在二線城市還是在一線城市銷售才能使所獲月利潤較大？

Answer 1

分析：（1）將x=1000代入y=-

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100

x+150中求y的值，根據：月利潤為 W_一線=（-

1

100

x+150）x-20x-62500，把x=1000代入求值；
（2）根據題意，直接寫出 W_一線，W_二線與x間的函數關系式；
（3）根據二次函數的最大（小）值公式，即拋物線的頂點縱坐標，列方程求解；
（4）將x=5000分別代入W_一線，W_二線的函數式，根據題意列不等式，根據a的取值范圍答題．

解答：解：（1）當x=1000時，y=-

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100

x+150=-10+150=140，
W_一線=（-

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100

x+150）x-20x-62500=140×1000-20000-62500=57500；
故填：140，57500；　　
（2）依題意，得
w_一線=x（y-20）-62500=-

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100

x²+130x-62500，
W_二線=（150-a）x-

1

100

x²；
（3）當x=-

130

2×(- 1 100 )

=6500時，w_一線最大；
由題意得，6500（150-a）-

1

100

×6500²=

4× (- 1 100 )×(-62500)-1302

4×(- 1 100 )

，
解得a₁=30，a₂=270（不合題意，舍去），所以a=30；
（4）當x=5000時，w_一線=337500，w_二線=-5000a+500000．
若w_一線＜w_二線，則a＜32.5；
若w_一線=w_二線，則a=32.5；
若w_一線＞w_二線，則a＞32.5．
所以，當10≤a＜32.5時，選擇在二線銷售；
當a=32.5時，在一線和二線銷售都一樣；
當32.5＜a≤40時，選擇在一線銷售．

點評：本題考查了二次函數在營銷問題中的運用．關鍵是明確題意，列出相應的二次函數關系式．