Question

已知拋物線y=ax²+（b-1）x+2．
（1）若拋物線經過點（1，4）、（-1，-2），求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線與直線y=x有兩個不同的交點P、Q，且點P、Q關于原點對稱．
①求b的值；
②請在橫線上填上一個符合條件的a的值：a=

 

，并在此條件下畫出該函數的圖象．

Answer 1

分析：（1）將已知的兩點的坐標代入拋物線中通過聯立方程組即可求出二次函數的解析式；
（2）連接直線y=x和拋物線的解析式，得出一個關于x的一元二次方程，由于P，Q的坐標關于原點對稱，那么這兩點的橫坐標的和應該為0，即得出的方程的兩根之和為0，根據韋達定理即可求出b的值．

解答：解：（1）由題意可得：

a+b-1+2=4 a-(b-1)+2=-2

，
解得

a=-1 b=4

，
∴拋物線的解析式為y=-x²+3x+2；

（2）①已知拋物線和直線y=x相交于P，Q兩點，則有：
ax²+（b-1）x+2=x，
ax²+（b-2）x+2=0；
設P，Q的坐標為（x₁，y₁）（x₂，y₂）；
∵點P、Q關于原點對稱，
∴x₁+x₂=-

b-2

a

=0，
∴b=2．
②根據①可知拋物線的解析式為y=ax²+x+2．
當a=-1時，y=-x²+x+2，如圖：

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點、一元二次方程根與系數的關系等知識點．