Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E．
（1）當AB=10，CD=6時，求OE的長；
（2）∠OCD的平分線交⊙O于點P，當點C在上半圓（不包括A、B點）上移動時，對于點P，下面三個結論：
①到CD的距離保持不變；②平分下半圓；③等分．其中正確的為______，請予以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由垂徑定理求CE，在Rt△OCE中，由勾股定理求OE；
（2）正確的為②，連接OP，利用角平分線的定義得∠1=∠2，由半徑OC=OP，得∠2=∠3，從而有∠1=∠3，則OP∥CD，CD⊥AB，則OP⊥AB，即點P平分下半圓．
解答：解：（1）∵直徑AB⊥弦CD，
∴AB平分弦CD，即CE=CD=3．
在Rt△OCE中，由勾股定理，
得OE===4；

（2）②，
證明：連接OP（如圖1），
∵OC=OP，∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，
∴CD∥OP，
∵CD⊥AB，∴OP⊥AB，
∴∠AOP=∠BOP=90°，∴=，
即點P平分下半圓．
①到CD的距離保持不變；③等分利用圖形即可得出不正確，
點評：本題考查了垂徑定理、勾股定理的應用．關鍵是根據垂徑定理求CE，利用勾股定理求OE．