Question

如圖，已知直角坐標系中一條圓弧經過正方形網格的格點A、B、C．
（1）用直尺和圓規畫出該圓弧所在圓的圓心M的位置（不用寫作法，保留作圖痕跡）．
（2）若A點的坐標為（0，4），D點的坐標為（7，0），求證：直線CD是⊙M的切線．
（3）在（2）的條件下，連接MA、MC，將扇形AMC卷成一個圓錐，求此圓錐的高．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AB、BC，分別作AB、BC的垂直平分線，兩條直線相交于點M；
（2）由A得到坐標是（0，4），可知B點坐標是（4，4），C點坐標是（6，2），設過C點與x軸垂直的直線與x軸的交點為E，連接MC，作直線CD，在Rt△CME中，利用勾股定理可求CM²，同樣在Rt△CED中利用勾股定理可求CD²，而根據數值可知CM²+CD²=DM²，故利用勾股定理逆定理可證△CDM是直角三角形，即∠MCD=90°，則CD是⊙M的切線；
（3）連接MA、MC，由于OA=ME=4，∠AOM=∠MEC=90°，CE=OM=2，利用SAS可證△AOM≌△MEC，再根據全等三角形的性質，易求出∠AMO+∠CME=90°，即∠AMC=90°，再利用勾股定理可求線段AM=MC=2，從而利用弧長公式可求弧AC=π，設扇形AMC卷成的圓錐如圖3，作圓錐的高MG，連接AG，利用弧長公式可求AG=，在Rt△AGM中，利用勾股定理可求GM．
解答：（本題12分）
解：（1）如圖1，點M就是要找的圓心．
正確即可（2分）

（2）證明：由A（0，4），可得小正方形的邊長為1，
從而B（4，4）、C（6，2）（1分）
如圖2，設過C點與x軸垂直的直線與x軸的
交點為E，連接MC，作直線CD，
∴CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，（1分）
在Rt△CEM中，∠CEM=90°，
∴MC²=ME²+CE²=4²+2²=20，
在Rt△CED中，∠CED=90°，
∴CD²=ED²+CE²=1²+2²=5，
∴MD²=MC²+CD²，（1分）
∴∠MCD=90°，（1分）
又∵MC為半徑，
∴直線CD是⊙M的切線．（1分）

（3）連接MA（圖2）
∵OA=ME=4，OM=CE=2，∠AOM=∠MEC=90°，
∴△AOM≌△MEC，
∴∠AMO=∠MCE，
又∵∠CME+∠MCE=90°，∠AMO+∠CME=90°，
∴∠AMC=90°，
∴AM⊥MC，（2分）
又∵MA=MC=，
∴弧AC的長=，（1分）
設扇形AMC卷成的圓錐如圖3，作圓錐的高MG，連接AG，則AG=，（1分）
∴扇形AMC卷成的圓錐的高MG=．（1分）
點評：本題利用了線段垂直平分線的作法、勾股定理及逆定理、切線的判定、全等三角形的判定和性質、弧長計算公式．