Question

已知，點O為等邊三角形ABC的內心，直線m過點O，過A、B、C三點分別作直線m的垂線，垂足分別為點D、E、F．當直線m與BC平行時（如圖1），易證：BE+CF=AD，

當直線m繞點O旋轉到與BC不平行時，圖2、圖3這兩種情況下，上述結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AD、BE、CF之間又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

解：圖2結論：BE+CF=AD
證明：連接AO并延長交BC于點G，作GH⊥EF于點H，
由圖1可得AO=2•OG
∵AD∥GH，∴△ADO∽△GHO．∴AD=2•GH
連接FG并延長交EB的延長線于點M，
△BMG≌△CFG，BM=CF，MG=FG
∵GH∥EM，∴△FHG∽△FEM．∴BE+BM=2•GH
∴BE+CF=AD
圖3結論：CF-BE=AD
分析：連接AO并延長交BC于點G，作GH⊥EF于點H，由圖1可得AO=2•OG，進而可以證明△ADO∽△GHO得AD=2•GH，連接FG并延長交EB的延長線于點M，即可求證△FHG∽△FEM，即可求得BE+CF=AD，即可解題．
點評：本題考查了相似三角形的傳遞性，考查了相似三角形對應邊比值相等的性質，考查了全等三角形的判定，本題中求證△FHG∽△FEM是解題的關鍵．