Question

如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O過AC的中點D，DE⊥BC，垂足為E．
（1）由這些條件，你能推出哪些正確結論？（要求：不再標注其它字母，找結論的過程中所連輔助線不能出現在結論中，不寫推理過程，寫出4個結論即可）；
（2）若∠ABC為直角，其它條件不變，除上述結論外，你還能推出哪些新的正確結論？并畫出圖形．〔要求：寫出6個結論即可，其它要求同（1）〕

Answer 1

分析：（1）連接OD、BD；由圓周角定理知BD⊥AC，則△BDC、△ABD是Rt△；由于D是AC中點，可得OD是△ABC的中位線；由D是AC中點，且BD⊥AC，可得到BD垂直平分AC；根據上述三個條件來推出所求的結論；
（2）當∠ABC=90°時，BC為⊙O的切線，△ABC是等腰Rt△，且四邊形ODEB是正方形，可根據這些條件進行推斷．

解答：解：（1）①DE是⊙O的切線，
②AB=BC，
③∠A=∠C，
④DE²=BE•CE，
⑤CD²=CE•CB，
⑥∠C+∠CDE=90°，
⑦CE²+DE²=CD²；
以上結論可任意選擇．
證明：連接OD、BD；
∵D、O分別是AC、AB的中點，
∴OD是△ABC的中位線，則OD∥BC；
∵DE⊥BC，∴OD⊥DE，即DE是⊙O的切線；①
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°；
∵D是AC的中點，∴BD垂直平分AC；
∴AB=BC②，∠A=∠C③；
在Rt△CDB中，DE⊥BC，由射影定理得：CD²=CE•CB⑤，DE²=BE•CE④；
在Rt△CDE中，DE⊥CE，則∠C+∠CDE=90°，由勾股定理得CD²=CE²+DE²⑦；

（2）①CE=BE，②DE=BE，
③DE=CE，④DE∥AB，
⑤CB是⊙O的切線，⑥DE=

1

2

AB，
⑦∠A=∠CDE=45°，
⑧∠C=∠CDE=45°，
⑨CB²=CD•CA，
⑩

CD

CA

=

CE

CB

=

DE

AB

，
（11）AB²+BC²=AC²
（12）

CD

DA

=

CE

EB

；
證明：∵∠ABC=90°，且AB是⊙O的直徑，
∴BC是⊙O的切線；⑤
∵DE⊥BC，AB⊥BC，
∴DE∥AB；④
∴

CD

CA

=

CE

CB

=

DE

AB

⑩，

CD

DA

=

CE

EB

；（12）
∵D是AC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，得BE=CE①，DE=

1

2

AB⑥；
在Rt△DBC中，E是斜邊BC的中點，則DE=BE②，DE=CE③；
由（1）易知△ABC是等腰直角三角形，則∠A=∠CDE=45°⑦，∠C=∠CDE=45°⑧；
在Rt△CBA中，∠ABC=90°，由勾股定理得AB²+BC²=AC²（11）；
由于BD⊥AC，由射影定理得CB²=CD•CA⑨．

點評：此題是開放性試題，著重考查學生對基礎知識的掌握能力，涉及的知識點有：圓周角定理、勾股定理、切線的判定、等腰三角形的判定和性質、線段垂直平分線的性質、三角形中位線定理、相似三角形的性質、平行線分線段成比例定理等．