Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，連結AE、EF。

（1）求證：AF是∠BAC的平分線； 　　
（2）試確定是否存在∠ABD的一個取值，使AB與EF平行？若存在，指出其取值并說明理由。

Answer 1

解：（1）證明：連接BE；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°
∵CD且圓于E，
∴∠AEC=∠ABE，
又AC⊥CD
∴∠CAE=∠BAE
即AE是∠BAC的平分線。
（2）當∠ABD=60°時，AB∥EF
∵ ∠FDE=∠AEB=90°，且∠BED=∠BAE
∴∠ABE=∠EBF
又∵∠FED=∠EBF
∴ ∠FED=
若∠ABD=∠EFD，則AB∥EF
即∠FED=時，且∠FED+∠EFD=90°
∴ 解得∠EFD=∠ABD=60°。