Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，我把由兩條射線AE，BF和以AB為直徑的半圓所組成的圖形叫作圖形C（注：不含AB線段），已知A（-1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圓與y軸的交點D在射線AE的反向延長線上。
（1）求兩條射線AE，BF所在直線的距離；
（2）當一次函數y=x+b的圖象與圖形C恰好只有一個公共點時，寫出b的取值范圍；
當一次函數y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個公共點時，寫出b的取值范圍；
（3）已知□AMPQ（四個頂點A，M，P，Q按順時針方向排列）的各頂點都在圖形C上，且不都在兩條射線上，求點M的橫坐標x的取值范圍。

Answer 1

解：（1）分別連接AD、DB，則點D在直線AE上，如圖1， ∵點D在以AB為直徑的半圓上， ∴∠ADB=90°， ∴BD⊥AD， 在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=， ∵AE∥BF， ∴兩條射線AE、BF所在直線的距離為；
（2）當一次函數y=x+b的圖象與圖形C恰好只有一個公共點時，b的取值范圍是b=或-1＜b＜1； 當一次函數y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個公共點時，b的取值范圍是1＜b＜；
（3）假設存在滿足題意的平行四邊形AMPQ，根據點M的位置，分以下四種情況討論： ①當點M在射線AE上時，如圖2， ∵AMPQ四點按順時針方向排列， ∴直線PQ必在直線AM的上方， ∴PQ兩點都在弧AD上，且不與點A、D重合， ∴0＜PQ＜ ∵AM∥PQ且AM=PQ， ∴0＜AM＜ ∴-2＜x＜-1， ②當點M不在弧AD上時，如圖3， ∵點A、M、P、Q四點按順時針方向排列， ∴直線PQ必在直線AM的下方， 此時，不存在滿足題意的平行四邊形， ③當點M在弧BD上時，設弧DB的中點為R， 則OR∥BF， （i）當點M在弧DR上時，如圖4， 過點M作OR的垂線交弧DB于點Q，垂足為點S，可得S是MQ的中點， 連結AS并延長交直線BF于點P， ∵O為AB的中點，可證S為AP的中點。 ∴四邊形AMPQ為滿足題意的平行四邊形， ∴0≤x＜ （ii）當點M在弧RB上時，如圖5， 直線PQ必在直線AM的下方， 此時不存在滿足題意的平行四邊形， ④當點M在射線BF上時，如圖6， 直線PQ必在直線AM的下方， 此時，不存在滿足題意的平行四邊形， 綜上，點M的橫坐標x的取值范圍是-2＜x＜-1或0≤x＜。