Question

【題目】已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長線上的一點，AE⊥CD交DC的延長線于E，交⊙O于G，CF⊥AB于F，點C是弧BG的中點．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AF，BF（AF＞BF）是一元二次方程x2﹣8x+12＝0的兩根，求CE和AG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2，4

【解析】

（1）連接OC，求出AC平分∠EAF，推出OC∥AE，推出OC⊥DE，根據切線判定推出即可；

（2）連接CG，得到CG＝BC，解方程求得AF＝6，BF＝2，得到AB＝8，根據射影定理得到AC＝4，BC＝4，解直角三角形即可得到結論．

（1）證明：連接OC，

∵點C是弧BG的中點，

∴∠EAC＝∠CAF，

∵OA＝OC，

∴∠CAF＝∠OCA，

∴∠OCA＝∠EAC，

∴OC∥AE，

∵AE⊥DE，

∴OC⊥DE，

∵OC為⊙O半徑，

∴DE是⊙O的切線；

（2）連接CG，

∴CG＝BC，

∵AF，BF（AF＞BF）是一元二次方程x2﹣8x+12＝0的兩根，x2﹣8x+12＝0的兩根為，

∴AF＝6，BF＝2，

∴AB＝8，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵CF⊥AB，

∴AC2＝AFAB＝6×8＝48，BC2＝BFAB＝16，

∴AC＝4，BC＝4，

∴tan∠CAB＝＝，

∴∠CAE＝∠CAB＝30°，

∴CE＝AC＝2，AE＝AC＝6，

∵CG＝BC＝4，

∴EG＝＝＝2，

∴AG＝4．