Question

如圖，在梯形ABCD中，AB=2，AD=4，BC=6，將梯形折疊，使B落在邊AD上，落點記為E，這時折痕與邊BC（含端點）交于F，則以B、E、F為頂點的三角形△BEF稱為梯形ABCD的“折痕三角形”．
（1）在梯形ABCD，當它的“折痕△BEF”的頂點E位于AD的中點時，直接寫出點F的坐標；
（2）在梯形ABCD中是否存在面積最大的“折痕△BEF”？若存在，說明理由，并求出此時點E的坐標？若不存在，為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）當點E在AD的中點時求出E點坐標，再根據連接BE，畫BE的中垂線交BC與點F，連接EF，△BEF是矩形ABCD的一個折痕三角形．根據折痕垂直平分BE，AB=AE=2，故可得出點A在BE的中垂線上，即折痕經過點A，所以四邊形ABFE為正方形，由正方形的性質即可得出結論；
（2）由于△EOF的高是定值，所有OF越長折痕△BEF的面積越大，所以當點F與點C重合時△BEF的面積最大；設E（x，2），則M（，1），由折疊的性質可知直線MF是線段BE的垂直平分線，故兩直線斜率的積等于-1，由此即可得出x的值，進而得出E點坐標．
解答：解：（1）如圖1所示，連接BE，畫BE的中垂線交BC與點F，連接EF，△BEF是矩形ABCD的一個折痕三角形．
∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，
∴點A在BE的中垂線上，即折痕經過點A．
∴四邊形ABFE為正方形．
∴BF=AB=2，
∴F（2，0）．


（2）存在．
∵△BEF的高是定值，
∴OF越長折痕△BEF的面積越大，
∴當點F與點C重合時△BEF的面積最大，
∴S_△BEF=OB×OC=×6×2=6．
如圖2所示：
設E（x，2），則M（，1）
∵MF是線段BE的垂直平分線，F（0，6），
∵互為垂直的兩條直線的斜率的積等于-1，E（x，2），O（0，0），M（，1），F（6，0）
∴•=-1，解得x=6-4或x=6+4（舍去），
∴E（6-4，1）．
點評：本題考查的是四邊形綜合題，涉及到圖形的反折變換、正方形的性質等相關知識，難度適中．