Question

楊老師在上四邊形時給學生出了這樣一個題．如圖，若在等腰梯形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，E、F分別是BM、CM的中點時．提出以下問題：
（1）在不添加其它線段的前提下，圖中有哪幾對全等三角形？請直接寫出結論；
（2）猜想四邊形MENF是何種的四邊形？并加以說明；
（3）連接MN，當MN與BC有怎樣的數量關系時，四邊形MENF是正方形？（直接寫出關系式，不需要說明理由）

Answer 1

解：（1）△ABM≌△DCM，△BNE≌△CNF；

（2）四邊形MENF是菱形．理由如下：
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AB=CD，∠A=∠D，
∵M是AD的中點，
∴AM=DN，
∴△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，
∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點，
∴EN=CM，NF=BM，ME=BM，MF=CM，
∴ME=MF=EN=FN，
∴四邊形MENF是菱形；

（3）當MN=BC時，四邊形MENF是正方形．
分析：（1）利用等腰梯形的性質得到AB=CD，∠A=∠D，再由M是AD的中點得到AM=DN，然后根據“SAS”可判斷△ABM≌△DCM，則BM=CM，于是得到∠EBN=∠FCN，再利用E、F分別是BM、CM的中點可得到BE=CF，N是BC的中點得到BN=CN，根據“SAS”可判斷△BNE≌△CNF；
（2）利用△ABM≌△DCM得到BM=CM，N、E、F分別是BC、BM、CM的中點，根據中位線定理得到EN=CM，NF=BM，根據線段中點的定義得到ME=BM，MF=CM，則ME=MF=EN=FN，然后根據菱形的判定得到四邊形MENF是菱形；
（3）當MN=BC時，則NM=NB=NC，然后根據三角形內角和定理可計算得到∠EMF=90°，而四邊形MENF是菱形，然后根據正方形的判定方法得到四邊形MENF是正方形．
點評：本題考查了等腰梯形的性質：等腰梯形的兩腰相等，同一底上的兩個角相等．也考查了三角形全等的判定與性質、菱形的判定以及正方形的判定．