Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC=BC=1，∠C=90°，E、F是AB上的動點(diǎn)，且∠ECF=45°，分別過E、F作BC、AC的垂線，垂足分別為H、G，兩垂線交于點(diǎn)M．

（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，請直接寫出MH與AC的數(shù)量關(guān)系 ；

（2）探索AF、EF、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，請畫出坐標(biāo)系并利用（2）中的結(jié)論證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）見解析．

【解析】

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，點(diǎn)與點(diǎn)重合，可得，四邊形是矩形，進(jìn)一步得到，根據(jù)三線合一可得，證明結(jié)論；

（2）如圖2所示，將順時針旋轉(zhuǎn)至，再利用可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得出結(jié)論；

（3）由題意知四邊形是矩形，根據(jù)（2）的結(jié)論和三角形面積求法可得，繼而可知，即可證明結(jié)論．

解： （1）結(jié)論：，

如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，點(diǎn)與點(diǎn)重合，

，，

，

，

，四邊形是矩形，

，

，，

，

又∵

，

；

（2）結(jié)論：，

證明：如圖2所示，

，，

．

將順時針旋轉(zhuǎn)至，

則，，，；

，

，

．

在和中，

，

，

．

，

，

，即；

（3）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖（3）：

由（2）易知、、是等腰直角三角形，

∴，

∵，，

∴，

同理可得：，，，

由（2）可得，

∴，

又∵，，

∴．