Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, △ABD是等邊三角形

1.如圖1, E是AB的中點，連結CE并延長交AD于F.

求證：①△AEF≌△BEC；

② 四邊形BCFD是平行四邊形；

2.如圖2，將四邊形ACBD折疊,使D與C重合，HK為折痕，求sin∠ACH的值.

 

Answer 1

 

1.① 在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,

 ∴ ∠ABC=60°.

在等邊△ABD中，∠BAD=60°,  ∴ ∠BAD=∠ABC=60°.      

∵ E為AB的中點，∴ AE=BE.                                

又∵ ∠AEF=∠BEC ,   ∴ △AEF≌△BEC                      3分

② 在△ABC中，∠ACB=90°，E為AB的中點

∴ CE=AB,BE=AB，∴ ∠BCE=∠EBC=60°.                          

又∵ △AEF≌△BEC,   ∴ ∠AFE=∠BCE=60° .

又∵ ∠D=60°,  ∴ ∠AFE=∠D=60°  ∴ FC∥BD      

又∵ ∠BAD=∠ABC=60°，∴ AD∥BC，即FD∥BC                

 ∴ 四邊形BCFD是平行四邊形.

2.

解析:① 在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,

 ∴ ∠ABC=60°.

在等邊△ABD中，∠BAD=60°,  ∴ ∠BAD=∠ABC=60°.      

∵ E為AB的中點，∴ AE=BE.                                

又∵ ∠AEF=∠BEC ,   ∴ △AEF≌△BEC                      3分

② 在△ABC中，∠ACB=90°，E為AB的中點

∴ CE=AB,BE=AB，∴ ∠BCE=∠EBC=60°.                          

又∵ △AEF≌△BEC,   ∴ ∠AFE=∠BCE=60° .

又∵ ∠D=60°,  ∴ ∠AFE=∠D=60°  ∴ FC∥BD      

又∵ ∠BAD=∠ABC=60°，∴ AD∥BC，即FD∥BC                

 ∴ 四邊形BCFD是平行四邊形.

（2）∵∠BAD=60°，∠CAB=30°  ∴∠CAH=90°

            在Rt△ABC中，∠CAB=30°，設BC =a

∴ AB=2BC=2a，∴ AD=AB=2a.

            設AH = x ，則 HC=HD=AD-AH=2a-x.           

在Rt△ABC中，AC²=(2a) ²-a²=3a².

在Rt△ACH中，AH²+AC²=HC²，即x²+3a²=(2a-x) ².

解得 x=a，即AH=a.

∴ HC=2a-x=2a-a=a