Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，過點B作BC∥OP交⊙O于點C，連接AC．
（1）求證：△ABC∽△POA；
（2）若AB=2，PA=，求BC的長．（結果保留根號）

Answer 1

【答案】分析：此題首先要掌握圓的性質，直徑所對的圓周角是直角；根據切線的性質可得∠PAO=90°，根據平行線的性質，可得∠AOP=∠CBA，所以可證得△ABC∽△POA，根據相似三角形的性質，相似三角形的對應邊成比例可求得BC的長．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵PA是⊙O的切線，
∴∠OAP=90°．
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠CBA．
則△ABC∽△POA．

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，且AB=2，
∴OA=1．
∵在Rt△OAP中，PA=，
∴．
∵由（1）可知△ABC∽△POA，
∴．
則BC=．
∴求得BC=．
點評：此題考查了相似三角形的判定和性質，①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．