Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），點C（0，6），BC∥OA，OB=10，點E從點B出發，以每秒1個單位長度沿BC向點C運動，點F從點O出發，以每秒2個單位長度沿OB向點B運動，現點E、F同時出發，連接EF并延長交OA于點D，當F點到達B點時，E、F兩點同時停止運動．設運動時間為t秒
（1）當四邊形ABED是平行四邊形時，求t的值；
（2）當△BEF的面積最大時，求t的值；
（3）當以BE為直徑的圓經過點F時，求t的值；
（4）當動點E、F會同時在某個反比例函數的圖象上時，求t的值．（直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）因為BC∥OA，所以可判定△EBF∽△DOF，得到關于OD和運動時間t的關系式，當四邊形ABED是平行四邊形時EB=AD，進而求出時間t；
（2）用含有t的代數式表示出△BEF的面積，利用二次函數的性質可求出當△BEF的面積最大時，t的值；
（3）利用相似三角形對應邊成比例求解即可；
（4）假設會在同一反比例函數圖象上，表示出點E、F的坐標則兩點的橫坐標與縱坐標的積等于定值，即相等，列出方程，如果方程有解，說明會在同一函數圖象上，求出方程的解就是運動的時間，如果方程無解說明不會在同一函數圖象上．

解答：解：（1）∵BC∥OA，
∴△EBF∽△DOF，
∴

EB

DO

=

BF

OF

，
即：

t

OD

=

10-2t

2t

，得到：OD=

t2

5-t

，
∴當四邊形ABED是平行四邊形時，EB=AD，
即10-

t2

5-t

=t，
∴t=

10

3

；

（2）s=

1

2

t(10-2t)

3

5

=-

3

5

(t-2.5)2+

15

4

，
∴當t=2.5時，△EBF的面積最大；

（3）當以BE為直徑的圓經過點F時，則∠EFB=90°，
∵△EFB∽△OCB，
∴

t

10-2t

=

5

4

，
∴t=

25

7

；

（4）依題意有6（8-t）=（2t×

8

10

）×（2t×

6

10

），
解得t₁=

-25+5 281

16

，t₂=

-25-5 281

16

（負值舍去）．

點評：本題主要考查勾相似三角形的性質和判定、平行四邊形的性質和一元二次方程的解的情況，在平時的學習中需要多加練習熟練掌握．