Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點，BC=2AD，EA=ED=2，AC與ED相交于點F．

（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）當AB與AC具有什么位置關系時，四邊形AECD是菱形？請說明理由，并求出此時菱形AECD的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析（2）當AB⊥AC時，四邊形AECD是菱形，理由見解析

【解析】解：（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD。

又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA。∴∠DEC=∠AEB。

又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB（SAS）。

∴AB=CD。

∴梯形ABCD是等腰梯形。

（2）當AB⊥AC時，四邊形AECD是菱形。理由如下：

∵E為BC的中點，BC=2AD，∴BE=EC=AD。

又∵AD∥BC，∴四邊形ABED和四邊形AECD均為平行四邊形。∴AB=ED。

∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC。∴四邊形AECD是菱形。

過A作AG⊥BE于點G，

∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等邊三角形。

∴∠AEB=60°，∴AG=。

∴S_菱形AECD=EC•AG=2×=2。

（1）由AD∥BC，由平行線的性質，可證得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性質，可得∠EAD=∠EDA，則可得∠DEC=∠AEB，從而證得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形。

（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四邊形ABED和四邊形AECD均為平行四邊形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易證得四邊形AECD是菱形。過A作AG⊥BE于點G，易得△ABE是等邊三角形，即可求得答案AG的長，從而求得菱形AECD的面積。