Question

【題目】將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F。

（1）求證：AF+EF=DE；

（2）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉角α，且0°＜α＜60°，其它條件不變，請在圖②中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（1）中猜想的結論是否仍然成立；

（3）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉角β，且60°＜β＜180°，其它條件不變，如圖③，你認為（1）中猜想的結論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出AF、EF與DE之間的關系，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立，證明見解析；（3）成立，證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用旋轉的性質以及全等三角形的判定得出Rt△BCF≌Rt△BEF，進而得出答案；

（2）利用旋轉的性質以及全等三角形的判定得出Rt△BCF≌Rt△BEF，進而得出答案；

（3）利用旋轉的性質以及全等三角形的判定得出Rt△BCF≌Rt△BEF，進而得出答案．

試題解析：（1）如圖①所示，連接BF，

∵BC=BE，

在Rt△BCF和Rt△BEF中

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），

∴EF=CF，

∴AF+EF=AC=DE；

（2）如圖②所示：

延長DE交AC與點F，連接BF，

在Rt△BCF和Rt△BEF中

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），

∴EF=CF，

∴AF+EF=AC=DE；

（3）如圖③所示：

連接BF，

在Rt△BCF和Rt△BEF中

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），

∴EF=CF，

∴AF-FC=AC=DE，

∴AF-EF=DE．