Question

如圖，已知⊙M的半徑為2cm，圓心角∠AMB=120°，并建立如圖所示的直角坐標系．
（1）求圓心M的坐標；
（2）求經過A、B、C三點拋物線的解析式；
（3）點D是位于AB所對的優弧上一動點，求四邊形ACBD的最大面積；
（4）在（2）中的拋物線上是否存在一點P，使△PAB和△ABC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知：∠AMB=120°，
∴∠CMB=60°，∠OBM=30度．
∴OM=MB=1，
∴M（0，1）．

（2）由A，B，C三點的特殊性與對稱性，知經過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=ax²+c．
∵OC=MC-MO=1，OB=，
∴C（0，-1），B（ ，0）．
∴c=-1，a=．
∴y=x²-1．

（3）∵S_{四邊形ACBD}=S_△ABC+S_△ABD，又S_△ABC與AB均為定值，
∴當△ABD邊AB上的高最大時，S_△ABD最大，此時點D為⊙M與y軸的交點．
∴S_{四邊形ACBD}=S_△ABC+S_△ABD=AB•OC+AB•OD
=AB•CD
=4 cm²．

（4）假設存在點P，如下圖所示：
方法1：
∵△ABC為等腰三角形，∠ABC=30°，，
∴△ABC∽△PAB等價于∠PAB=30°，PB=AB=2 ，PA=PB=6．
設P（x，y）且x＞0，則x=PA•cos30°-AO=3 -=2 ，y=PA•sin30°=3．
又∵P（2 ，3）的坐標滿足y=x²-1，
∴在拋物線y=x²-1上，存在點P（2 ，3），
使△ABC∽△PAB．
由拋物線的對稱性，知點（-2 ，3）也符合題意．
∴存在點P，它的坐標為（2 ，3）或（-2 ，3）．
說明：只要求出（2 ，3），（-2 ，3），無最后一步不扣分．下面的方法相同．
方法2：
當△ABC∽△PAB時，∠PAB=∠BAC=30°，又由（1）知∠MAB=30°，
∴點P在直線AM上．
設直線AM的解析式為y=kx+b，
將A（-，0），M（0，1）代入，
解得 ，
∴直線AM的解析式為y=x+1．
解方程組 ，
得P（2 ，3）．
又∵，
∴∠PBx=60度．
∴∠P=30°，
∴△ABC∽△PAB．
∴在拋物線y=x²-1上，存在點（2 ，3），使△ABC∽△PAB．
由拋物線的對稱性，知點（-2 ，3）也符合題意．
∴存在點P，它的坐標為（2 ，3）或（-2 ，3）．
方法3：
∵△ABC為等腰三角形，且 ，
設P（x，y），則△ABC∽△PAB等價于PB=AB=2 ，PA=AB=6．
當x＞0時，得 ，
解得P（2 ，3）．
又∵P（2 ，3）的坐標滿足y=x²-1，
∴在拋物線y=x²-1上，存在點P（2 ，3），使△ABC∽△PAB．
由拋物線的對稱性，知點（-2 ，3）也符合題意．
∴存在點P，它的坐標為（2 ，3）或（-2 ，3）．
分析：（1）在直角△AMO中，根據三角函數就可以求出OM，就可以得到M的坐標．
（2）根據三角函數就可以求出A，B的坐標，拋物線經過點A、B、C，因而M一定是拋物線的頂點．根據待定系數法就可以求出拋物線的解析式．
（3）四邊形ACBD的面積等于△ABC的面積+△ABP的面積，△ABC的面積一定，△ABP中底邊AB一定，P到AB的距離最大是三角形的面積最大，即當P是圓與y軸的交點時面積最大．
（4）△PAB和△ABC相似，根據相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出P點的坐標．
點評：本題主要考查了二次函數的知識，其中涉及了待定系數法求函數的解析式、相似三角形的對應邊的比相等等知識，注意熟練掌握這些知識并靈活應用．