Question

（2005•上海）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是邊AC上的一個動點，以點O為圓心作半圓，與邊AB相切于點D，交線段OC于點E，作EP⊥ED，交射線AB于點P，交射線CB于點F．
（1）如圖，求證：△ADE∽△AEP；
（2）設OA=x，AP=y，求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；
（3）當BF=1時，求線段AP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）證△ADE∽△AEP，需找出兩組對應相等的角．連接OD，根據切線的性質，可得出∠ODA=90°，而∠ODE=∠OED，因此∠ADE和∠AEP都是90°加上一個等角，因此∠AEP=∠ADE；再加上兩三角形的公共角∠A，即可證得兩三角形相似；
（2）由△AOD∽△ACB，可得OD=OA，AD=OA；又由△ADE∽△AEP，可得y=x；
（3）由△PBF∽△PED和△ADE∽△AEP，得；再將y=，BP=4-AP=4-代入，即可求得AP的長．
解答：（1）證明：連接OD，
∵AP切半圓于D，∠ODA=∠PED=90°，
又∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ADE=∠ODE+∠ODA，
∠AEP=∠OED+∠PED，
∴∠ADE=∠AEP，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEP；

（2）解：∵△AOD∽△ACB，
∴，
∵AB=4，BC=3，∠ABC=90°，
∴根據勾股定理，得AC==5，
∴OD=OA，AD=OA，
∵△ADE∽△AEP，
∴=，
∵AP=y，OA=x，AE=OE+OA=OD+OA=OA，
∴==，
則y=x（0＜x≤）；

（3）解：情況1：y=x，BP=4-AP=4-，
∵△PBF∽△PED，
∴，
又∵△ADE∽△AEP，
∴，
∴，
∴，
解得：x=，
∴AP=．
情況2：如圖，半圓O的半徑R較大時，EP交AB延長線于點P，P在B上方；交BC于點F，F在BC之間：
CF=BC-BF=3-1=2，
過點E作EG⊥BC，
則△CGE∽△CBA，
則===，
解得，EG=，CG=，
FG=FC-CG=2-=，
PB：EG=FB：FG，
PB=÷=2，
AP=AB+PB=4+2=6．
故線段AP的長為2或6．
點評：本題考查了相似三角形的性質，圓的切線性質、一次函數的應用，以及分類討論的數學思想；其中由相似三角形的性質得出比例式是解題關鍵．注意：求相似比不僅要認準對應邊，還需注意兩個三角形的先后次序．此題還是一個綜合性很強的題目，難度很大，有利于培養同學們鉆研和探索問題的能力．