Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC，∠ABC=2∠BAC，弦BE交AC于點D，連接AE，若，點C坐標是（a，0），點F坐標是（0，b）．
（1）請你寫出圓心O的坐標（______，______）；
（用含a，b的代數式表示）
（2）求線段BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過O分別作AF、AC的垂線，由垂徑定理即可得到O點的坐標；
（2）等腰△ABC中，∠ABC=2∠BAC，根據三角形內角和定理即可求得∠ABC=72°、∠BAC=36°；
由圓周角定理知∠E=∠BCD，聯立，可證得△ABE∽△DBC，那么可證得∠ABE=∠DBC=36°，進而可得到△BCD、△ADB都是含36°、72°角的等腰三角形，可設BD=x，那么AD=BD=BC=x，CD=a-x；然后通過△BCD∽△ABC得到的比例線段來求得BD的長．
解答：解：（1）（）（2分）

（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABC=2∠BAC，
∴∠ACB=2∠BAC，
∴∠ACB=∠ABC=72°，∠BAC=36°，
∵，∠AEB=∠ACB，
∴△ABE∽△DBC，
∴∠ABE=∠DBC=36°，（3分）
∴∠ABE=∠DBC=∠BAC=36°，∠BDC=72°，
∴AD=BD=BC，（4分）
∵點C坐標是（a，0），設BD的長為x
∴DC=a-x
∵∠DBC=∠BAC=36°，∠DCB=∠BCA
∴△ABC∽△BDC，得：
即（5分）
∴x²+ax=a²
解之得：
∴BD的長為．（6分）
點評：此題主要考查了垂徑定理、等腰三角形的性質、相似三角形的判定和性質等知識的綜合應用能力．