Question

（2005•棗莊）如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD邊上一點（點E與點A，D不重合）．BE的垂直平分線交AB于M，交DC于N．
（1）設AE=x，四邊形ADNM的面積為S，寫出S關于x的函數關系式；
（2）當AE為何值時，四邊形ADNM的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）解題的關鍵是作輔助線ME、MN，證明出來△EBA≌△MNF，把需要解決的問題轉化成解直角三角形的問題，利用勾股定理解答．
（2）根據（1）的答案，利用二次函數的最值問題即可求出．
解答：解：（1）連接ME，設MN交BE于P，根據題意，得
MB=ME，MN⊥BE．（2分）
過N作AB的垂線交AB于F．
在Rt△MBP中，∠MBP+∠BMN=90°，
在Rt△MNF中，∠FNM+∠BMN=90°，
∴∠MBP=∠MNF．
在Rt△EBA與Rt△MNF中，
∵AB=FN，
∴Rt△EBA≌Rt△MNF，故MF=AE=x．
在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=AB-AM=2-AM，
∴（2-AM）²=x²+AM²．
4-4AM+AM²=x²+AM²，即4-4AM=x²，
解得AM=1-x²．（5分）
所以梯形ADNM的面積S=×AD=×2
=AM+AF=AM+AM+MF=2AM+AE
=2（1-x²）+x
=-x²+x+2
即所求關系式為s=-x²+x+2．（8分）

（2）s=-x²+x+2=-（x²-2x+1）+=-（x-1）²+
故當AE=x=1時，四邊形ADNM的面積S的值最大，最大值是．
點評：此題的綜合性比較強，涉及面較廣，涉及到正方形的性質，線段垂直平分線的性質及勾股定理的運用，在解答此題時要連接ME，過N點作AB的垂線再求解．