Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，），△AOB的面積是。

（1）求點B的坐標；
（2）求過點A、O、B的拋物線的解析式；
（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△AOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）在（2）中x軸下方的拋物線上是否存在一點P，過點P作x軸的垂線，交直線AB于點D，線段OD把△AOB分成兩個三角形，使其中一個三角形面積與四邊形BPOD面積比為2：3？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）由題意OB=，得OB=2，∴B（-2，0）；
（2）設拋物線的解析式為y=ax（x+2），代入點A（1，），得a=，
∴經過A、O、B三點的拋物線是y=；
（3）存在點C
∵點O關于對稱軸的對稱點是B，
∴對稱軸與AB的交點就是存在的點C，使得△AOC的周長最小，AB+AO就是△AOC的最小周長
設直線AB的解析式為y=ax+b（a≠0），用待定系數法將A、B的坐標代入可求得
a=，b=，∴y=，
∵拋物線的對稱軸為x=-1，
∴將x=-1代入AB的解析式即可得到點C的坐標（-1，）；
（4）存在；
設P（x，y），由條件知x＜0，y＜0，
∵S_BPOD=S_△BPO+S_△BOD
=
=
=-
=
∴S_△AOD=S_△AOB-S_△BOD=，
①若S_△AOD=S_BPOD
得，
解得（舍去），
將代入拋物線的解析式可得y=，
∴P，
②若S_△BOD=S_BPOD，
∵S_△BOD=，
∴，
解得，分別代入拋物線的解析式可得，
∴P或P（-2，0），
∵點P在軸下方，
∴P（-2，0）不符合題意舍去，
∴只存在一個點P（-，-）符合條件