Question

（2013•松北區三模）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為△ABC的高，以AD為直徑的⊙0與AB、AC兩邊分別交于點E、F．連接DE、DF．
（1）求證：BE=CF；
（2）若AD=BC=2

5

．求ED的長．

Answer 1

分析：（1）根據等腰三角形“三合一”的性質推知∠1=∠2．由“直徑所對的圓周角是直角”得到∠AED=∠AFD=90°．則根據角平分線的性質證得結論；
（2）在直角△ABD中利用勾股定理求得斜邊AB的長度，然后根據面積法來求ED的長度．

解答：（1）證明：如圖，∵在△ABC中，AB=AC，AD為△ABC的高，
∴∠1=∠2．
又∵AD為直徑，
∴∠AED=∠AFD=90°，即DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF；

（2）如圖，∵在△ABC中，AB=AC，AD為△ABC的高，AD=BC=2

5

．
∴BD=CD=

1

2

BC=

5

．
∴由勾股定理得到AB=

AD2+BD2

=5．
∵由（1）知DE⊥AB，
∴

1

2

AD•BD=

1

2

AB•ED，
∴ED=

AD•BD

AB

=

2 5 • 5

5

=2．

點評：本題考查了等腰三角形的性質、勾股定理．注意，勾股定理應用于直角三角形中．