Question

（2006•泰安）（1）如圖①，⊙O的弦CE垂直于直徑AB，垂足為點G，點D在上，作直線CD，ED，與直線AB分別交于點F，M，連接OC，求證：OC²=OM•OF；
（2）把（1）中的“點D在上”改為“點D在上”，其余條件不變（如圖②），試問：（1）中的結論是否成立？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖①，連接CM，OE．易得AF是EC的中垂線，有MC=ME，有∠CMA=∠EMA．∠AOC=∠COE，由圓周角定理知，∠AOC=∠CDE．由三角形的外角與內角的關系和等量代換求得∠OCM=∠F，故有△OMC∽△OCF，得到，即OC²=OM•OF．
（2）如圖②，連接MC，OE．易得AF是EC的中垂線，有MC=ME，∠EMG=∠CMO．由三角形的外角與內角的關系和等量代換求得∠FCO=∠CMO，故有△OCF∽△OMC．得，即OC²=OM•OF．
解答：（1）證明：如圖①，連接CM，OE，
∵AB⊥CE于G，∴GC=GE．
∴MC=ME，∴∠CMA=∠EMA．
∠AOC=∠COE，∴∠AOC=∠CDE．
又∠OCM=∠AOC-∠CMA，
∠F=∠CDE-∠DMF，
∠DMF=∠EMA，
∴∠OCM=∠F．
又∠COM=∠FOC，∴△OMC∽△OCF．
∴．
∴OC²=OM•OF．

（2）解：成立．理由如下：
如圖②，連接MC，OE，
∵AB⊥CE于G，
∴GC=GE，．
∴∠CDE=∠COB，MC=ME．
∴∠EMG=∠CMO．
∵∠FCO=∠COB-∠OFC，∠EMG=∠CDE-∠DFM，∠DFM=∠OFC，
∴∠EMG=∠FCO．
∴∠FCO=∠CMO．
∴△OCF∽△OMC．
∴，
∴OC²=OM•OF．
點評：本題利用了垂徑定理，三角形的外角與內角的關系，中垂線的性質，相似三角形的判定和性質求解．