Question

△ABC中，AB=AC=10，BC=12，動(dòng)點(diǎn)D在邊AB上，DE⊥AB，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在邊AC上，且∠DEF=∠B，當(dāng)點(diǎn)D在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
（1）S_△FCE可能等于S_△EBD的二倍嗎？若可能，請(qǐng)求出BD的長；若不可能，請(qǐng)說明理由．
（2）S_△FCE可能等于S_△EBD的四倍嗎？若可能，請(qǐng)求出BD的長；若不可能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)相似三角形的判定定理得出△EBD∽△FCE，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)A點(diǎn)時(shí)△FCE的面積最大，求出兩三角形面積的值進(jìn)行比較即可；
（2）根據(jù)（1）中兩三角形的面積即可得出結(jié)論．

解答：（1）存在．
證明：如圖所示：
過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，
∵DE⊥AB，
∴∠B+∠BED=90°，
∵∠DEF=∠B，
∴∠BED+∠DEF=90°，
∴FE⊥BC，
∴∠BDE=∠CEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△EBD∽△FCE，
∵BC=12，AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=6，AH=8，
∵FE⊥BC，
∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)△FCE的面積最大，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合，
∴S_△FCE=

1

2

CE•EF=

1

2

×6×8=24；
∵

CE

BD

=

CF

BE

=

EF

DE

，

6

BD

=

10

6

=

8

DE

，解得BD=3.6，DE=4.8，
∴S_△EBD=

1

2

BD•DE=

1

2

×3.6×4.8=8.64，
∵2×8.64=17.28＜24，
∴S_△FCE可能等于S_△EBD的2倍；

（2）不存在．
證明：由（1）知當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)△FCE的面積最大，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合，S_△FCE=

1

2

CE•EF=

1

2

×6×8=24，S_△EBD=

1

2

BD•DE=

1

2

×3.6×4.8=8.64，
∵24＜4×8.64=34.56，點(diǎn)F只在AC邊上，
∴S_△FCE不可能等于S_△EBD的四倍．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形利用數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．