Question

在△CDE中，∠C=90°，CD，CE的長分別為m，n，且DE•cosD=cotE．
（1）求證m²=n；
（2）若m=2，拋物線y=a（x-m）²+n與直線y=3x+4交于A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）兩點，且△AOB的面積為6（O為坐標原點），求a的值；
（3）若是k²=，c+l-b=0，拋物線y=k（x²+bx+c）與x軸只有一個交點在原點的右側，試判斷拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸還是負半軸，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知的三角函數得出DE•=，推出CD²=CE即可證明．
（2）解關于二次函數與一次函數組成的方程組，利用一元二次方程根與系數的關系即可求出AB的距離，再根據直線與x軸的交點可求出△AOB的高，根據其面積即可求出a的值．
（3）由k²=，c+l-b=0，可求出k、c的值，代入拋物線y=k（x²+bx+c），再根據拋物線y=k（x²+bx+c）與x軸只有一個交點可求出△的值，再另x=0，即可求出拋物線與y軸的交點坐標，根據△進行判斷即可．
解答：（1）證明：由DE•cosD=cotE，有DE•=．
∴CD²=CE，
∴m²=n．

（2）解：由題意得，
即ax²-（4a+3）x+4a=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=4．
∴|x₁-x₂|=
===
∴|AB|=．
又直線y=3x+4與y軸交于M（0，4），與x軸交于N（-，0）．
設OH=h垂直于MN，
則h=
∵••=6，
∴=3|a|．
∴a=3或a=．

（3）∵k²=，c+l-b=0，
∴k²===1，c+1-b=0，c=b-1，
拋物線y=k（x²+bx+c）可化為y=x²+bx+b-1，
∵拋物線與x軸只有一個交點，在原點的右側，
∴△=b²-4（b-1）=b²-4b+4=0，即b-1=＞0
令x=0，則y=b-1=＞0，
故拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸．
點評：本題考查的是銳角三角函數的定義，二次函數圖象上點的坐標特點及一元二次方程根與系數的關系，涉及面較廣，但難度適中．