Question

如圖1，已知長方體的長為BC=2cm，寬AC=1cm，高AA′=4cm．
（1）一只螞蟻如果沿長方體的表面從A點爬到B′點，那么沿哪條路最近？最短路程是多少？
（2）如圖2，若在長方體的表面A′B′C′D′上放一個底面圓最大的圓錐體，且圓錐底面在四邊形A′B′C′D′內，設圓心為O，試判斷∠A′0C′的度數范圍．（不要求計算過程）

Answer 1

分析：（1）要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將正方體展開，然后利用兩點之間線段最短解答．
（2）要保證底面圓最大，必須使得圓與長方形的兩條長邊相切，分圓與A′C′相切、圓與B′D′相切兩種情況求得∠A′0C′的度數范圍．

解答：
解：（1）根據題意，如下圖所示，最短路徑有以下三種情況：
①沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪開，得圖（1）AB′²=AB²+BB′²=（2+1）²+4²=25，
②沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D'A'，A′A剪開，得圖（2）AB′²=AC²+B′C²=1²+（4+2）²=37，
③沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪開，得圖（3）AB′²=AD²+B′D²=2²+（4+1）²=29，
綜上所述，最短路徑應為（1）所示，
所以AB′²=25，
即AB′=5cm，
答：最短路徑為（1）所示5cm；

（2）要保證底面圓最大，必須使得圓與長方形的兩條長邊相切，則此時圓的半徑長為

1

2

，
當圓與A′C′相切時，∠A′0C′最大，此時為90°；
當圓與B′D′相切時，E為切點，∠A′0C′最小，此時，A′E=

1

2

，OE=

3

2

，tan∠A′0E=

1

3

所以∠A′0E≈18.4°，∠A′0C′≈36.8°，
∠A′OC′的度數范圍為36.8°≤∠A′OC′≤90°．

點評：考查了平面展開-最短路徑問題，將長方體從不同角度展開，是解決此類問題的關鍵，注意不要漏解．同時考查了切線的性質和分類思想．