Question

將三角形紙片（△ABC）按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B'，折痕為EF．已知AB=AC=2，cosC=

3

4

，若以點B'、F、C為頂點的三角形與△ABC相似，那么BF的長度是

 

．

Answer 1

分析：作AH⊥BC，利用解直角三角形求BC，由已知得△ABC為等腰三角形，以點B'、F、C為頂點的三角形與△ABC相似，則△B'FC為等腰三角形，可知FB′∥AB，利用平行線的性質，折疊的性質可證四邊形BFB′E為菱形，利用B′E∥BC，得到相似三角形，用相似比求解．

解答：解：作AH⊥BC，垂足為H，在Rt△ACH中，CH=AC•cosC=

3

2

，
∵AB=AC，∴BC=2CH=3，
∵以點B'、F、C為頂點的三角形與△ABC相似，
∴B′F=B′C，∴FB′∥AB，
∴∠B′FE=∠FEB，
由折疊的性質可知，∠B′FE=∠BFE，∠FEB=∠FEB′，
∴四邊形BFB′E為菱形，
設BF=x，則B′F=B′C=B′E=x，AB′=2-x，
∵B′E∥BC，∴△AEB′∽△ABC，
∴

B′E

BC

=

AB′

AC

，即

x

3

=

2-x

2

，解得x=

6

5

．
故答案為：

6

5

．

點評：本題考查了折疊的性質，相似三角形的判定與性質，解直角三角形．關鍵是利用折疊與相似得出菱形．