Question

（2011•寧德）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，將△ABC繞C點按逆時針方向旋轉α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，設CD交AB于F，連接AD，當旋轉角α度數為

40°或20°

，△ADF是等腰三角形．

Answer 1

分析：根據旋轉的性質得∠DCA=α，CD=CA，則∠CDA=∠CAD=

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（180°-α）=90°-

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α，利用三角形外角的性質得∠DFA=30°+α，當△ADF是等腰三角形，若FD=FA，則AD⊥AC，則旋轉角度為90°，所以FD≠FA，討論：FD≠FA，則當AF=AD或DF=DA，分別利用等腰三角形的性質得90°-

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α=30°+α；30°+α=90°-

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α-30°，即可得到α的值．

解答：解：∵△ABC繞C點按逆時針方向旋轉α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，
∴∠DCA=α，CD=CA，
∴∠CDA=∠CAD=

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（180°-α）=90°-

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α，
∵△ADF是等腰三角形，∠DFA=30°+α，
①CD=CA，則∠CDA=∠CAD，
當FD=FA，則∠FDA=∠FAD，這不合題意舍去，
②當AF=AD，
∴∠ADF=∠AFD，
∴90°-

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α=30°+α，
解得α=40°；
③當DF=DA，
∴∠DFA=∠DAF，
∴30°+α=90°-

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α-30°，
解得α=20°．
故答案為40°或20°．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等．也考查了等腰三角形的性質．