Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）求證：BC=AB；

（3）點M是的中點，CM交AB于點N，若AB=4，求MNMC的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）見解析；

（3）MNMC=8．

【解析】

試題分析：（1）已知C在圓上，故只需證明OC與PC垂直即可；根據圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切線；

（2）AB是直徑；故只需證明BC與半徑相等即可；

（3）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM=∠BCM，進而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MNMC；代入數據可得MNMC=BM2=8．

試題解析：（1）∵OA=OC，∴∠A=∠ACO．又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，

∴∠A=∠ACO=∠PCB．又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACO+∠OCB=90°．

∴∠PCB+∠OCB=90°．即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半徑．∴PC是⊙O的切線．

（2）∵AC=PC，∴∠A=∠P，∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．

又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，

∴∠COB=∠CBO，∴BC=OC．∴BC=AB．

（3）連接MA，MB，∵點M是的中點，∴，∴∠ACM=∠BCM．

∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM．∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB．

∴．∴BM2=MNMC．又∵AB是⊙O的直徑，，

∴∠AMB=90°，AM=BM．∵AB=4，∴BM=2．

∴MNMC=BM2=8．