Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥AB，AD=3，BC=4，E點在AB上，且AE=2，∠CED=90°．
求CD的長．

Answer 1

【答案】分析：首先根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，證得△AED∽△BCE，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得BE的長，在過D作DF⊥BC，交BC于F，則DF∥AB，即可得四邊形ABFD為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)與勾股定理，即可求得CD的長．
解答：解：如圖，在△AED和△BCE中，
∵AD∥BC，BC⊥AB，
∴AD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，（1分）
∵∠CED=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，（1分）
∴△AED∽△BCE，（3分）
∴
∴，
即BE=6，
過D作DF⊥BC，交BC于F，則DF∥AB，（6分）
∴四邊形ABFD為矩形，
∴DF=AB=2+6=8，F(xiàn)C=BC-BF=BC-AD=4-3=1，
∴CD²=DF²+FC²=8²+1=65，
∴CD=．（8分）
點評：此題考查了梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法．