Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，AB＝2。若以O為坐標原點，OA所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內。將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處。

（1）求點C的坐標；

（2）若拋物線（≠0）經過C、A兩點，求此拋物線的解析式；

（3）若拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一點，過P作軸的平行線，交拋物線于點M。問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由。

注：拋物線（≠0）的頂點坐標為，對稱軸公式為

Answer 1

（1）過點C作CH⊥軸，垂足為H

∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90⁰，∠BOA＝30⁰，AB＝2

∴OB＝4，OA＝

由折疊知，∠COB＝30⁰，OC＝OA＝

∴∠COH＝60⁰，OH＝，CH＝3

∴C點坐標為（，3）

（2）∵拋物線（≠0）經過C（，3）、A（，0）兩點

       ∴      解得：

        ∴此拋物線的解析式為：

（3）存在。因為的頂點坐標為（，3）即為點C

       MP⊥軸，設垂足為N，PN＝，因為∠BOA＝30⁰，所以ON＝

       ∴P（，）

       作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E

把代入得：

        ∴ M（，），E（，）

       同理：Q（，），D（，1）

       要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD

       即，解得：，（舍）

       ∴ P點坐標為（，）

      ∴ 存在滿足條件的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點的坐為（，）