Question

九年級上冊的教材第118頁有這樣一道習題：
“在一塊三角形余料ABC中，它的邊BC=120mm，高線AD=80mm．要把它加工成正方形零件（如圖），使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長為多少mm？”
（1）請你解答上題；
（2）若將上題圖中的正方形PQMN改為矩形，其余條件不變，求矩形PQMN的面積S的最大值；
（3）我們把上面習題中的正方形PQMN叫做“BC邊上的△ABC的內接正方形”，若在習題的條件下，又知AB=150mm，AC=100mm，請分別寫出AB邊上的△ABC的內接正方形的邊長和AC邊上的△ABC的內接正方形的邊長（不必寫出過程，只要直接寫出答案即可，結果精確到1mm）；
（4）結合第（1）、（3）題，若三角形的三邊長分別為a，b，c，各邊上的高分別為h_a，h_b，h_c，要使a邊上的三角形內接正方形的面積最大，請寫出a與h_a必須滿足的條件（不必寫出過程）．

Answer 1

分析：（1）設正方形的邊長為xmm，然后表示出AE的長度，再根據相似三角形對應高的比等于對應邊的比列出比例式，計算即可得解；
（2）設PN=x，用PQ表示出AE的長度，然后根據相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根據矩形的面積公式列式計算，再根據二次函數的最值問題解答；
（3）根據AB、AC的長度求出相應邊上的高，然后根據（1）中的方法計算即可；
（4）用三角形的邊長與相應邊上的高表示出這邊上的內接正方形的邊長，再根據正方形的面積越大，則邊長越大解答．

解答：解：（1）設正方形的邊長為xmm，由條件可得△APN∽△ABC，
∴

PN

BC

=

AE

AD

，
即

x

120

=

80-x

80

，
解得x=48mm；

（2）設PN=xmm，由條件可得△APN∽△ABC，
∴

PN

BC

=

AE

AD

，
即

x

120

=

80-PQ

80

，
解得PQ=80-

2

3

x．
∴S=PN•PQ=x（80-

2

3

x）=-

2

3

x²+80x=-

2

3

（x-60）²+2400，
∴S的最大值為2400mm²；

（3）根據△ABC的面積，∵AB=150mm，AC=100mm，
∴AB邊上的高=

120×80

150

=64mm，
AC邊上的高=

120×80

100

=96mm，
根據（1）的方法，求AB邊上的內接正方形的邊長，

x

150

=

64-x

64

，
解得x=

4800

107

≈45；
求AC邊上的內接正方形的邊長，

x

100

=

96-x

96

，
解得x=

4800

98

≈49mm；

（4）根據（1）（3）題的結論，內接正方形的邊長為三角形的面積除以相應邊與這一邊上的高的和的一半，
所以，要使a邊上的三角形內接正方形的面積最大，
必須a+h_a＜b+h_b且a+h_a＜c+h_c．

點評：本題考查了相似三角形的應用，二次函數的最值問題，根據相似三角形對應高的比等于對應邊的比列式表示出正方形的邊長與三角形的邊與這邊上的高的關系是解題的關鍵，此題規律性較強，是道好題．