Question

如圖1，正方形ABCD和過其對角線交點O的正方形OEFG的邊長相等，OE交AB于M，OG交BC于N．
（1）求證：△AOM≌△BON；
（2）當四邊形MONB的面積為1時，求正方形的邊長；
（3）在（2）的條件下，如果正方形OEFG繞點O逆時針轉動，使頂點E剛好落在CB的延長線上如圖2，并過O作OH⊥BC垂足為H，求MB的長．

Answer 1

分析：（1）根據同角的余角相等求出∠AOM=∠BON，再根據正方形的性質求出AO=BO，∠OAM=∠OBN=45°，然后利用“角邊角”證明△AOM和△BON全等即可；
（2）根據全等三角形的面積相等可得△AOM和△BON的面積相等，然后根據四邊形MONB的面積求出正方形ABCD的面積，再求出邊長；
（3）先根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠OEH=30°，然后求出BH、EH的長，再求出EB，然后解直角三角形即可得到MB的長．

解答：（1）證明：∵∠AOM+∠BOM=90°，∠BON+∠BOM=90°，
∴∠AOM=∠BON，
∵四邊形ABCD和四邊形OEFG都是正方形，
∴AO=BO，∠OAM=∠OBN=45°，
在△AOM和△BON中，

∠AOM=∠BON AO=BO ∠OAM=∠OBN

，
∴△AOM≌△BON（ASA）；

（2）解：∵△AOM≌△BON，
∴△AOM的面積=△BON的面積，
∴四邊形MONB的面積=

1

4

正方形ABCD的面積，
∵四邊形MONB的面積為1，
∴正方形ABCD的面積=4，
∴正方形ABCD的邊長為2；

（3）解：∵OH⊥BC，
∴OH=

1

2

×2=1，
又∵OE=2，
∴∠OEH=30°，
∴BH=OH=1，EH=

22-12

=

3

，
∴EB=EH-BH=

3

-1，
在Rt△EBM中，MB=EB•tan30°=（

3

-1）×

3

3

=1-

3

3

．

點評：本題考查了旋轉的性質，正方形得到性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，以及解直角三角形，綜合性較強，難度中等，熟記各性質并準確識圖是解題的關鍵．