Question

如圖，圓（直徑為

3

8

）的切點分別為A，B，C，那么圖中的距離x=

 

．（用最簡分數表示）．

Answer 1

分析：∵與⊙O相切于C點的直線∥EF，△GEF是等邊三角形，由等邊三角形的性質與圓的切線的性質通過作輔助線和運用勾股定理就可以GB的值，用含x的式子表示出HF、OF的值，在Rt△OBF中由勾股定理建立等量關系就可以求出x的值．

解答：解：連接CO、OG、OF、OB，CO交EF于點H．
∵⊙O的直徑是

3

8

∴OC=OB=

3

16

，GH=

1

2

，HC=x
∴OH=

3

16

-x
∵△GEF是等邊三角形
∴∠OGF=30°
∴GF=2HF
在Rt△GHF中，由勾股定理，得
HF=

3

6

，GF=

3

3

，
在Rt△HOF中，由勾股定理，得
OF²=(

3

6

)2+(

3

16

-x)2
在Rt△OBG中，由勾股定理，得
GB=

3 3

16

，BF=

3

3

-

3 3

16

在Rt△OBF中，由勾股定理，得
(

3

6

)2+(

3

16

-x)2-(

3

16

)2=(

3

3

-

3 3

16

) 2，
解得：x₁=

5

8

（不符合題意，舍去），x₂=

1

8

．
故答案為：

1

8

．

點評：本題考查了圓的切線的性質，等邊三角形的性質，勾股定理的運用等知識點，是一道計算量較大試題．