Question

△ABC中，AB=AC，D、E分別是邊AC、BC上的一點，AE、BD交于點F，連接DE，且∠BAC=∠AFD=α，
（1）如圖1，若α=90°，線段AD、AC具有怎樣的數量關系時，∠ADB=∠CDE；
（2）如圖2，若α=60°，線段AD、AC具有怎樣的數量關系時，∠ADB=∠CDE；
上述兩個問題選擇其中一個解答，選擇（1）問滿分7分，選擇（2）問滿分11分．

Answer 1

分析：（1）首先過點C作AC垂線交AE延長線于G，由∠BAC=∠AFD=90°，易證得△ABD≌△CAG，繼而可證得△CDE≌△CGE，則可得CG=CD=AD，即可得當AD=

1

2

AC時，∠ADB=∠CDE；
（2）由∠BAC=∠AFD=60°，可得△ABC是等邊三角形，易證得△ABD≌△CAE（ASA），繼而可得△CDE∽△CEA，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得結論．

解答：證明：（1）過點C作AC垂線交AE延長線于G，
則∠ACG=90°，
∵∠BAC=∠AFD=90°，
∴∠ABD+∠BAF=90°，∠BAF+∠CAG=90°，
∴∠ABD=∠CAG，
在△ABD和△CAG中，

∠ABD=∠CAG AB=CA ∠BAD=∠ACG=90°

，
∴△ABD≌△CAG（ASA），
∴AD=CG，∠ADB=∠G，
當∠ADB=∠CDE時，
則∠CDE=∠G，
∵∠ACG=∠BAC=90°，
∴AB∥CG，
∴∠GCE=∠ABC=∠DCE=45°，
在△CDE和△CGE中，

∠CDE=∠G ∠DCE=∠GCE CE=CE

，
∴△CDE≌△CGE（AAS），
∴CG=CD=AD，
∴AD=

1

2

AC，
∴當AD=

1

2

AC時，∠ADB=∠CDE；

（2）∵∠AFD=∠BAC=60°，
又∵∠AFD=∠ABD+∠BAE=60°，∠BAE+∠EAC=60°，
∴∠ABD=∠EAC，
∵AB=AC，
∴∠C=∠BAC=60°，
在△ABD和△CAE中，

∠ABD=∠EAC AB=AC ∠BAD=∠C

，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴AD=CE，∠ADB=∠AEC，
當∠ADB=∠CDE時，
則∠AEC=∠CDE，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CEA，
∴

CE

CA

=

CD

CE

，
∴CE²=CD•CA，
∴AD²=（AC-AD）•AC，
即AD²+AD•AC-AC²=0，
∴AD1=

-1+ 5

2

AC，AD2=

-1- 5

2

AC（不合題意，舍去），
∴當AD=

5 -1

2

AC時，∠ADB=∠CDE．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．