Question

【題目】在⊙O 中，AB 為直徑，點 P 在BA 的延長線上，PC 為⊙O 的切線，過點 A 作AH⊥PC 于點 H， 交⊙O 于點 D，連接 BC、BD、AC．

(1)如圖 1，求證：∠CAH=∠CAB；

(2)如圖 2，過點 C 作 CE⊥AB 于點 E，求證：BD=2CE；

(3)如圖 3，在(2)的條件下，點 F 在BC 上，連接 DF、EF，若 BG=2AE，∠CFE=45°，OG=1，求線段 EF 的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）連接OC，根據切線的性質證得，利用半徑相等即可證明；

（2）延長CO交BD于點M，根據角平分線的性質證得，證得四邊形為矩形，推出，，，利用垂徑定理即可證明；

（3）連接CD，過點E作于點，于點，設，則，，由，推出，，即，再推出，證得，得到，在中，利用勾股定理求得，然后解直角三角形即可求解．

（1）證明：連接OC，

∵PC為圓O的切線，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）證明：連接OC，延長CO交BD于點M，

∵，，，

∴，

∵AB為直徑，

∴，

∴，

∴四邊形為矩形，

∴，，，

∴；

（3）解：連接CD，過點E作于點，于點，

在和中，

∵，，

∴

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴設，則，，

∵，

∴，，，，，，

∴，

∴，

∵，，

∵，

∴，

∴，

∵AB為圓O的直徑，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在中，，，，

由勾股定理得：，即，

解得：，（舍去）

∴，，

∴，

∴，

在Rt△BSE中，，，

，

∴，

在Rt△FSE中，，，

∴．