Question

CD是經過∠BCA的頂點C的一條直線，CA=CB，E、F分別是直線CD上兩點，且∠BEC=∠CFA=∠α，若直線CD經過∠BCA的內部，且E、F在射線C、D上，請解答下面的三個問題：
（1）如圖1，若∠BCA=90°，∠α=90°，則∠BCE

=

∠CAF；BE

=

CF（填“＞”、“＜”、“=”）；并證明這兩個結論．
（2）如圖2，若∠BCA=80°，要使∠BCE與∠CAF有（1）中的結論，則∠α=

100

；
（3）如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，當∠α與∠BCA滿足什么關系時，則（1）中的兩個結論仍然成立．這個關系是

∠α+∠BCA=180°

．（只填結論，不用證明）

Answer 1

分析：（1）可以證明△BCE≌△CAF，根據全等三角形的對應邊相等，對應角相等即可得到；
（2）根據三角形內角和定理，可以得到∠CBE=∠ACF，則∠ACF+∠CAF=∠BCA，根據三角形內角和定理即可得到；
（3）與（2）的解法完全相同．

解答：解：（1）∵∠BEC=∠CFA=∠α=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
又∵∠BCA=90°，即∠BCE+∠ACF=90°，
∵在△BCE和△CAF中，

∠BEC=∠CFA ∠BCE=∠ACF CA=CB

，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴∠BCE=∠CAF；BE=CF；

（2）∵△BCE和△CAF中，∠BCE=∠CAF，∠BEC=∠CFA，
∴∠CBE=∠ACF，
∴∠ACF+∠CAF=∠ACF+∠BCE=∠BCA=80°
∴∠BEC=∠CFA=180°-（∠ACF+∠CAF）=100°；

（3）∠α+∠BCA=180°
證明：根據（2）得：∴∠ACF+∠CAF=∠BCA，
則在△ACD中，根據三角形內角和定理可得：∠α+∠BCA=180°．
故答案是：=，=．

點評：本題考查了三角形全等的判定與性質，以及三角形內角和定理，證明∠ACF+∠CAF=∠BCA是關鍵．