Question

（2009•金華）如圖，在平面直角坐標系中，點A（0，6），點B是x軸上的一個動點，連接AB，取AB的中點M，將線段MB繞著點B按順時針方向旋轉90°，得到線段BC．過點B作x軸的垂線交直線AC于點D．設點B坐標是（t，0）．
（1）當t=4時，求直線AB的解析式；
（2）當t＞0時，用含t的代數式表示點C的坐標及△ABC的面積；
（3）是否存在點B，使△ABD為等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當t=4時，B（4，0），設直線AB的解析式為y=kx+b．把A（0，6），B（4，0）代入解析式即可求出未知數的值，從而求出其解析式；
（2）過點C作CE⊥x軸于點E，由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC．即===，BE=AO=3，CE=OB=故點C的坐標為（t+3，）．由于AB⊥BC，AB=2BC，∴S_△ABC=AB•BC=BC²．在Rt△ABC中，由勾股定理得BC²=CE²+BE²=t²+9，即S_△ABC=t²+9．
（3）①當t≥0時Ⅰ，若AD=BD．由于BD∥y軸，故∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，所以∠OAB=∠BAD．因為∠AOB=∠ABC，所以△ABO∽△ACB，故==，即=，∴t=3，即B（3，0）．
Ⅱ．若AB=AD．延長AB與CE交于點G，由于BD∥CG∴AG=AC過點A畫AH⊥CG于H．CH=HG=CG，由△AOB∽△GEB，
得=，故GE=．由于HE=AO=6，CE=，t²-24t-36=0，解得：t=12±6．因為t≥0，所以t=12+6，即B（12+6，0）．
Ⅲ．由已知條件可知，當0≤t＜12時，∠ADB為銳角，故BD≠AB．當t≥12時，BD≤CE＜BC＜AB．故當t≥0時，不存在BD=AB的情況．
②當-3≤t＜0時，如圖，∠DAB是鈍角．設AD=AB過點C分別作CE⊥x軸，CF⊥y軸于點E，點F．可求得點C的坐標為（t+3，），
∴CF=OE=t+3，AF=6-，由BD∥y軸，AB=AD得，∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB故∠BAO=∠FAC，
又∵∠AOB=∠AFC=90°，∴△AOB∽△AFC，∴=，求得t的關系式t²-24t-36=0，解得：t=12±6．因為-3≤t＜0，所以t=12-6，即B（12-6，0）．
③當t＜-3時，如圖，∠ABD是鈍角．設AB=BD，過點C分別作CE⊥x軸，CF⊥y軸于點E，點F，可求得點C的坐標（t+3，），故CF=-（t+3），AF=6-，由于AB=BD，故∠D=∠BAD．又因為BD∥y軸，故∠D=∠CAF，∠BAC=∠CAF．又因為∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，所以△ABC≌△AFC，故AF=AB，CF=BC，∴AF=2CF，即6-=-2（t+3），解得：t=-8，即B（-8，0）．
解答：解：（1）當t=4時，B（4，0），
設直線AB的解析式為y=kx+b．
把A（0，6），B（4，0）代入得：
，
解得：，
∴直線AB的解析式為：y=-x+6．

（2）過點C作CE⊥x軸于點E，
由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC．
∴===，
∴BE=AO=3，CE=OB=，
∴點C的坐標為（t+3，）．
方法一：
S_梯形AOEC=OE•（AO+EC）=（t+3）（6+）=t²+t+9，
S_△AOB=AO•OB=×6•t=3t，
S_△BEC=BE•CE=×3×=t，
∴S_△ABC=S_梯形AOEC-S_△AOB-S_△BEC
=t²+t+9-3t-t
=t²+9．

方法二：
∵AB⊥BC，AB=2BC，
∴S_△ABC=AB•BC=BC²．
在Rt△ABC中，BC²=CE²+BE²=t²+9，
即S_△ABC=t²+9．

（3）存在，理由如下：
①當t≥0時，
Ⅰ．若AD=BD，
又∵BD∥y軸，
∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，
∴∠OAB=∠BAD，
又∵∠AOB=∠ABC，
∴△ABO∽△ACB，
∴==，
∴=，
∴t=3，即B（3，0）．
Ⅱ．若AB=AD．
延長AB與CE交于點G，
又∵BD∥CG，
∴AG=AC，
過點A畫AH⊥CG于H．
∴CH=HG=CG，
由△AOB∽△GEB，
得=，
∴GE=．
又∵HE=AO=6，CE=，
∴+6=×（+），
∴t²-24t-36=0，
解得：t=12±6．因為t≥0，
所以t=12+6，即B（12+6，0）．
Ⅲ．由已知條件可知，當0≤t＜12時，∠ADB為銳角，故BD≠AB．
當t≥12時，BD≤CE＜BC＜AB．
∴當t≥0時，不存在BD=AB的情況．
②當-3≤t＜0時，如圖，∠DAB是鈍角．設AD=AB
過點C分別作CE⊥x軸，CF⊥y軸于點E，點F．
可求得點C的坐標為（t+3，），
∴CF=OE=t+3，AF=6-，
由BD∥y軸，AB=AD得，
∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB，
∴∠BAO=∠FAC，
又∵∠AOB=∠AFC=90°，
∴△AOB∽△AFC，
∴=，
∴=，
∴t²-24t-36=0，
解得：t=12±6．因為-3≤t＜0，
所以t=12-6，即B（12-6，0）．
③當t＜-3時，如圖，∠ABD是鈍角．設AB=BD，
過點C分別作CE⊥x軸，CF⊥y軸于點E，點F，
可求得點C的坐標為（t+3，），
∴CF=-（t+3），AF=6-，
∵AB=BD，
∴∠D=∠BAD．
又∵BD∥y軸，
∴∠D=∠CAF，
∴∠BAC=∠CAF．
又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，
∴△ABC≌△AFC，
∴AF=AB，CF=BC，
∴AF=2CF，即6-=-2（t+3），
解得：t=-8，即B（-8，0）．
綜上所述，存在點B使△ABD為等腰三角形，
此時點B坐標為：B₁（3，0），B₂（12+6，0），B₃（12-6，0），B₄（-8，0）．
點評：本題比較繁瑣，難度很大，解答此題的關鍵是畫出圖形作出輔助線，結合等腰三角形，全等三角形的判定及性質解答．體現了數形結合在解題中的重要作用．