Question

已知，如圖1，正方形ABCD和正方形BEFG，三點A、B、E在同一直線上，連接AG和CE，
（1）判定線段AG和線段CE有什么關系？請說明理由．
（2）將正方形BEFG，繞點順時針旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論是否成立？請說明理由．
（3）若在圖2中連接AE和CG，且AE=2CG=4，求正方形ABCD和正方形BEFG的面積之和為______．（直接寫出結果）．

Answer 1

解：（1）AG=CE．
理由如下：在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，
在△ABG和△CBE中，
∵，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG=CE；

（2）AG=CE仍然成立．
理由如下：在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB=CB，BG=BE，∠ABC=∠EBG=90°，
∵∠ABG=∠ABC+∠CBG，
∠CBE=∠EBG+∠CBG，
∴∠ABG=∠CBE，
在△ABG和△CBE中，
∵，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG=CE；

（3）如圖2，連接AC、EG，設AG、CE交點為H，
∵△ABG≌△CBE，
∴∠BAG=∠BCE，
∴∠CAH+∠ACH=∠CAH+∠ACH+∠BCE=∠CAH+∠ACH+∠BAG=∠CAH+∠BAC=90°，
∴AG⊥CE，
在Rt△CGH中，CG²=CH²+GH²，
在Rt△AEG中，AE²=AH²+EH²，
∴CG²+AE²=CH²+GH²+AH²+EH²=（CH²+AH²）+（GH²+EH²）=AC²+EG²，
∵AE=2CG=4，
∴CG=2，
∴AC²+EG²=2²+4²=20，
∴正方形ABCD和正方形BEFG的面積之和為×20=10．
故答案為：10．
分析：（1）根據正方形的性質可得AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，然后利用“邊角邊”證明△ABG和△CBE全等，再根據全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）先求出∠ABG=∠CBE，然后利用“邊角邊”證明△ABG和△CBE全等，再根據全等三角形對應邊相等即可得證；
（3）連接AC、EG，設AG、CE交點為H，根據全等三角形對應角相等可得∠BAG=∠BCE，然后求出∠CAH+∠ACH=90°，從而證明得到AG⊥CE，再根據勾股定理求出AC²+EG²=CG²+AE²，然后根據正方形的面積等于對角線平方的一半求解即可．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，（3）證明得到AG⊥CE，然后利用勾股定理得到AC²+EG²=CG²+AE²是解題的關鍵．