Question

（2013•倉山區模擬）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=4，BC=3，動點M、N分別從點A、C同時出發，以每秒1個單位的速度運動，其中點M沿AB向終點B運動，點N沿CD向終點D運動，過點N做NP⊥CD于點N，交BD于P，過點M作MQ⊥AB，交BD于點Q，連接NQ、MP，當兩點運動了t秒時
（1）若t=1，即AM=CN=1時，求證：四邊形MPNQ是平行四邊形；
（2）若四邊形MPNQ是菱形，求t的值；
（3）設四邊形MPNQ的面積為S，求S關于t的函數解析式；并回答：當t為何值時，y隨x的增大而減小．

Answer 1

分析：（1）先由矩形的性質及已知條件得出∠ABD=∠CDB，BM=DN，再利用ASA證明△BMQ≌△DNP，根據全等三角形的性質及平行線的判定得到MQ=NP，MQ∥NP，從而證明出四邊形MPNQ是平行四邊形；
（2）如圖1，延長NP交AB于E，由tan∠DBA=

PE

BE

=

QM

BM

=

DA

AB

，即

PE

t

=

QM

4-t

=

3

4

，得出PE=

3

4

t，QM=

3

4

（4-t），再根據菱形的性質得出QM=MP，由此列出方程[

3

4

（4-t）]²=（

3

4

t）²+（4-2t）²，解方程即可；
（3）由于0≤t≤4且t≠2，所以分兩種情況進行討論：①0≤t＜2；②2＜t≤4．先用含t的代數式分別表示QM，ME，再根據平行四邊形的面積=底×高得到S關于t的函數解析式，然后根據二次函數的增減性即可得出t為何值時，y隨x的增大而減小．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB．
∵AM=CN，
∴AB-AM=CD-CN，即BM=DN．
在△BMQ與△DNP中，

∠MBQ=∠NDP BM=DN ∠BMQ=∠DNP=90°

，
∴△BMQ≌△DNP（ASA），
∴MQ=NP，∠MQB=∠NPD，
∴MQ∥NP，
∴四邊形MPNQ是平行四邊形；

（2）如圖1，延長NP交AB于E，則NE⊥AB，四邊形BENC為矩形，
∵AM=CN=BE=1•t=t，
∴BM=AB-AM=4-t，ME=|BM-BE|=|4-t-t|=|4-2t|，
∵tan∠DBA=

PE

BE

=

QM

BM

=

DA

AB

，
∴

PE

t

=

QM

4-t

=

3

4

，
∴PE=

3

4

t，QM=

3

4

（4-t），
若四邊形MPNQ是菱形，則QM=MP，
∴[

3

4

（4-t）]²=（

3

4

t）²+（4-2t）²，
整理，得8t²-23t+14=0，
解得t=2或

7

8

，
∵t=2時，M、N分別在AB、CD的中點，即此時M、Q、P、N四點共線，
∴t=2不合題意，舍去，即t=

7

8

．
故四邊形MPNQ是菱形時，t的值為

7

8

；

（3）分兩種情況：
①當0≤t＜2時，如圖1，
∵QM=

3

4

（4-t），ME=BM-BE=4-t-t=4-2t，
∴平行四邊形MPNQ的面積S=QM•ME，
=

3

4

（4-t）•（4-2t）
=

3

2

t²-9t+12
=

3

2

（t²-6t）+12
=

3

2

（t-3）²-

3

2

，
∴當0≤t＜2時，y隨x的增大而減小；
②當2＜t≤4時，如圖2，
∵QM=

3

4

（4-t），ME=BE-BM=t-（4-t）=2t-4，
∴平行四邊形MPNQ的面積S=QM•ME，
=

3

4

（4-t）•（2t-4）
=-

3

2

t²+9t-12
=-

3

2

（t²-6t）-12
=-

3

2

（t-3）²+

3

2

，
∴當3＜t≤4時，y隨x的增大而減小．
綜上所述，S關于t的函數解析式為S=

3 2 t2-9t+12(0≤t＜2) - 3 2 t2+9t-12(2＜t≤4)

，且當0≤t＜2或3＜t≤4時，y隨x的增大而減小．

點評：本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質，平行線、全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定，三角函數的定義，菱形的性質，平行四邊形的面積，二次函數的性質，綜合性較強，難度適中．運用數形結合、分類討論是解題的關鍵．