Question

如圖，拋物線y=x²-x+c分別交x軸的負半軸和正半軸于點A（x₁，0）、B（x₂，0），交y軸的負軸于點C，且tan∠OAC=2tan∠OBC，動點P從點A出發向終點B運動，同時動點Q從點B出發向終點C運動，P、Q的運動速度均為每秒1個單位長度，且當其中有一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設運動的時間是t秒．

（1）試說明OB=2OA；
（2）求拋物線的解析式；
（3）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？
（4）當t為何值時，△PBQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△OAC和Rt△OBC中，分別表示出∠OAC和∠OBC的正切值，根據題目給出的兩者的等量關系，即可證得所求的結論；
（2）根據韋達定理，即可求出A、B橫坐標的和與積的表達式，聯立OB、OA的比例關系，即可求出A、B的坐標及c的值，進而可確定拋物線的解析式；
（3）由于∠PBQ＜90°，因此若△PBQ是直角三角形，應該有兩種情況：①∠BPQ=90°；②∠PQB=90°；可分別用t表示出BP、BQ的長，再根據∠OBC的余弦值列方程求出t的值；
（4）可用t分別表示出BP、BQ、PQ的長，然后分BP=BQ、BP=PQ、BQ=PQ三種情況，列方程求出t的值．
解答：解：（1）由條件得：=2×
∴OB=2OA．

（2）由條件與第（1）題的結論得：-2x₁=x₂，
根據拋物線對稱軸可得，x₁+x₂=2，
x₁x₂=c，
解得：x₁=-2，x₂=4，c=-3；
拋物線的解析式；y=x²-x-3；

（3）由條件得：BP=6-t，BQ=t，
令y=x²-x-3中y=0，得到3x²-6x-24=0，
解得：x=-2或4，
即OB=4，OA=2，
又∵OC=3，
在直角三角形BOC中，根據勾股定理得：BC=5，
∴cos∠ABC==，
在直角三角形PBQ中，分BQ為斜邊或PB為斜邊，
可得=或=，
∴t=秒或t=秒；

（4）作QE⊥AB，
∵BP=6-t，BQ=t，PQ==，
t=6-t，
∴t=3秒
或=
∴t=秒；
或=6-t，
∴t=0（舍去），t=．
點評：此題考查了二次函數解析式的確定、解直角三角形、根與系數的關系以及直角三角形、等腰三角形的判定等知識，需注意的是（3）（4）在不確定直角三角形的直角頂點和等腰三角形腰和底的情況下需要分類討論，以免漏解．