Question

如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P為線段BC上的一動點，且和B、C不重合，連接PA，過P作PE⊥PA交CD所在直線于E．設BP=x，CE=y．
（1）求y與x的函數關系式；
（2）若點P在線段BC上運動時，點E總在線段CD上，求m的取值范圍；
（3）如圖2，若m=4，將△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP長．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明△ABP∽△PCE，利用比例線段關系求出y與x的函數關系式；
（2）根據（1）中求出的y與x的關系式，利用二次函數性質，求出其最大值，列不等式確定m的取值范圍；
（3）根據翻折的性質及已知條件，構造直角三角形，利用勾股定理求出BP的長度．解答中提供了三種解法，可認真體會．
解答：解：（1）∵∠APB+∠CPE=90°，∠CEP+∠CPE=90°，
∴∠APB=∠CEP，又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴，即，
∴y=x²+x．

（2）∵y=x²+x=（x-）²+，
∴當x=時，y取得最大值，最大值為．
∵點P在線段BC上運動時，點E總在線段CD上，
∴≤1，解得m≤．
∴m的取值范圍為：0＜m≤．

（3）由折疊可知，PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE，
又∵∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°，
∴∠APG=∠APB．
∵∠BAG=90°，∴AG∥BC，
∴∠GAP=∠APB，
∴∠GAP=∠APG，
∴AG=PG=PC．

解法一：如解答圖所示，分別延長CE、AG，交于點H，
則易知ABCH為矩形，HE=CH-CE=2-y，GH=AH-AG=4-（4-x）=x，
在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH²+HE²=GE²，
即：x²+（2-y）²=y²，化簡得：x²-4y+4=0  ①
由（1）可知，y=x²+x，這里m=4，∴y=x²+2x，
代入①式整理得：3x²-8x+4=0，解得：x=或x=2，
∴BP的長為或2．
解法二：如解答圖所示，連接GC．
∵AG∥PC，AG=PC，
∴四邊形APCG為平行四邊形，∴AP=CG．
易證△ABP≌GNC，∴CN=BP=x．
過點G作GN⊥PC于點N，則GN=2，PN=PC-CN=4-2x．
在Rt△GPN中，由勾股定理得：PN²+GN²=PG²，
即：（4-2x）²+2²=（4-x）²，
整理得：x²-8x+4=0，解得：x=或x=2，
∴BP的長為或2．
解法三：過點A作AK⊥PG于點K，
∵∠APB=∠APG，
∴AK=AB．
易證△APB≌△APK，
∴PK=BP=x，
∴GK=PG-PK=4-2x．
在Rt△AGK中，由勾股定理得：GK²+AK²=AG²，
即：（4-2x）²+2²=（4-x）²，
整理得：3x²-8x+4=0，
解得：x=或x=2，
∴BP的長為或2．
點評：本題是代數幾何綜合題，考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折疊、函數關系式、二次函數最值等知識點，所涉及考點眾多，有一定的難度．注意第（2）問中求m取值范圍時二次函數性質的應用，以及第（3）問中構造直角三角形的方法．