Question

【題目】如圖,CE⊥AB,BF⊥AC,垂足分別為E,F,BF交CE于點D,BD=CD.

（1）求證:點D在∠BAC的平分線上.
（2）若將條件“BD=CD”與(1)中結論“點D在∠BAC的平分線上”互換,成立嗎?試說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）證明:∵CE⊥AB,BF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°.
在△BDE和△CDF中,

∴△BDE≌△CDF(AAS).
∴DE=DF.
∴點D在∠BAC的平分線上.
（2）解:將條件“BD=CD”與(1)中結論“點D在∠BAC的平分線上”互換仍然成立.理由如下:
∵CE⊥AB,BF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°.
∵點D在∠BAC的平分線上,
∴DE=DF.
在△BDE與△CDF中,

∴△BDE≌△CDF(ASA).
∴BD=CD.
【解析】(1)根據垂直的定義得出∠DEB=∠DFC=90°.然后利用AAS判斷出△BDE≌△CDF，根據全等三角形對應邊相等得出DE=DF.根據角平分線的判定，到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上得出點D在∠BAC的平分線上；
（2）將條件“BD=CD”與(1)中結論“點D在∠BAC的平分線上”互換仍然成立.理由如下:根據垂直的定義得出∠DEB=∠DFC=90°.根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等得出DE=DF，然后利用ASA判斷出△BDE≌△CDF，根據全等三角形對應邊相等得出BD=CD.
【考點精析】通過靈活運用角的平分線判定和角平分線的性質定理，掌握可以證明三角形內存在一個點，它到三角形的三邊的距離相等這個點就是三角形的三條角平分線的交點(交于一點)；定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上即可以解答此題．