Question

閱讀下列材料：問題：如圖1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，點A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC，探究PG與PC的位置關系
小穎同學的思路是：延長GP交DC于點H，構造全等三角形，經過推理使問題得到解決．
請你參考小穎同學的思路，探究并解決下列問題：
（1）請你寫出上面問題中線段PG與PC的位置關系；
（2）將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題申的其他條件不變（如圖2）．你在（1）中得到的結論是否發生變化？寫出你的猜想并加以證明，

Answer 1

解：（1）線段PG與PC的位置關系是PG⊥PC．
理由：延長GP，交CD于點H，
∵四邊形ABCD與四邊形BEFG是菱形，
∴CD∥AB∥GF，
∴∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，
∵P是線段DF的中點，
∴DP=PF，
在△DPH和△FGP中，
，
∴△DPH≌△FGP（AAS），
∴PH=PG，DH=GF，
∵CD=BC，GF=GB=DH，
∴CH=CG，
∴CP⊥HG，
即PG⊥PC；

（2）猜想：（1）中的結論沒有發生變化．
證明：如圖，延長GP交AD于點H，連接CH，CG，
∵P是線段DF的中點，
∴FP=DP，
∵AD∥FG，
∴∠GFP=∠HDP．
又∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP
∴GP=HP，GF=HD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°．
由∠ABC=∠BEF=60°，且菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，
∴∠GBC=60°．
∴∠HDC=∠GBC．
∵四邊形BEFG是菱形，
∴GF=GB．
∵△HDC≌△GBC．
∴CH=CG．
∴PH=PG，PG⊥PC．
分析：（1）根據題意可知小穎的思路為，通過判定三角形DHP和PGF為全等三角形來得出證明三角形HCG為等腰三角形且P為底邊中點的條件；
（2）思路同上，延長GP交AD于點H，連接CH，CG，本題中除了如（1）中證明△GFP≌△HDP（得到P是HG中點）外還需證明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）．
點評：此題考查了菱形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質以及三角函數的定義．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．