Question

（1）已知a、b為有理數，x，y分別表示5-

7

的整數部分和小數部分，且滿足axy+by²=1，求a+b的值． 
（2）設x為一實數，[x]表示不大于x的最大整數，求滿足[-77.66x]=[-77.66]x+1的整數x的值．

Answer 1

分析：（1）運用估算的方法，先確定x，y的值，再代入xy+by²=1中求出a、b的值；（2）運用[x]的性質，簡化方程．注：設x為一實數，則[x]表示不大于x的最大整數，[x]]又叫做實數x的整數部分，有以下基本性質：①x-1＜[x]≤x ②若y＜x，則[y]≤[x]③若x為實數，a為整數，則[x+a]=[x]+a．

解答：解：（1）∵2＜5-

7

＜3，
∴x=2，y=3-

7

；
∵axy+by²=1，
∴a•2•（3-

7

）+b（3-

7

）²=1，即（-2a-6b）

7

+（6a+16b-1）=0．
∵a、b為有理數，
∴

-2a-6b=0 6a+16b-1=0

，
解得，

a= 3 2 b=- 1 2

，
∴a+b=1；

（2）∵x是整數，
∴[-77.66x]=-78x+[0.34x]，又[-77.66x]=-78x，
∴原方程化為-78x+[0.34x]=-78x+1，即[0.34x]=1，
由此得原方程的解為x=3、4或5．

點評：本題考查了無理數的大小的估算．解題關鍵是確定無理數的整數部分即可解決問題．